Auslegung von Erdwärmekollektoren: Berechnungsmethodik

Validierung der Berechnung

Die Kollektorberechnung in nPro ist mit der VDI 4640 Blatt 2 abgeglichen. Die Ergebnisse wurden mit dem Standardfall einer Dissertation der TU Dresden sowie mit den Auslegungswerten der VDI 4640 Blatt 2, Tabelle A2 für alle 15 Klimazonen und vier Bodenarten verglichen. Alle Szenarien, Eingabewerte und Ergebnisse finden Sie auf der separaten Seite:

➜ Validierung der Erdwärmekollektor-Berechnung in nPro

Systemaufbau: Erdwärmekollektor mit Wärmepumpe

Ein Erdwärmekollektor besteht aus horizontal verlegten Kunststoffrohren, die in geringer Tiefe unter der Erdoberfläche liegen und von einer Sole (meist ein Wasser-Glykol-Gemisch) durchströmt werden. Die Sole nimmt Wärme aus dem umgebenden Erdreich auf und gibt sie an den Verdampfer einer Wärmepumpe ab. Diese versorgt entweder ein Einzelgebäude oder über ein Wärmenetz ein ganzes Quartier.

Im Unterschied zu Erdwärmesonden nutzen Kollektoren keine Wärme aus großer Tiefe, sondern überwiegend die im Sommer gespeicherte Sonnenenergie. Der Boden regeneriert sich jedes Jahr über die Erdoberfläche durch Sonneneinstrahlung, Lufttemperatur und Niederschlag. Für die Auslegung sind vor allem folgende Größen maßgebend: die Verlegetiefe (z), der Rohrabstand (Δs) zwischen benachbarten Rohren, die Rohrdimension und die Kollektorfläche, aus der sich zusammen mit dem Rohrabstand die gesamte Rohrlänge ergibt.

Grundlagen zur Berechnung der Kollektoren

Das Berechnungsmodell in nPro verbindet eine exakte analytische Lösung der Wärmeleitung im Erdreich mit einem Vereisungsmodell aus einer wissenschaftlichen Arbeit der TU Dresden. Die Auslegungswerte der VDI 4640 Blatt 2 für Erdwärmekollektoren sind laut Richtlinie das Ergebnis rechnerischer Optimierungen auf Basis dieser Arbeit.

Drei physikalische Effekte bestimmen die Leistungsfähigkeit eines Kollektors:

• Wärmeleitung und Regeneration: Der Kollektor entzieht dem Erdreich Wärme, die von der Erdoberfläche und aus tieferen Schichten nachströmt. Weil die Erdoberfläche den Boden jedes Jahr regeneriert, stellt sich nach ein bis zwei Jahren ein eingeschwungener Zustand ein. Eine langfristige Auskühlung über Jahrzehnte wie bei Sondenfeldern tritt nicht auf.
• Vereisung: Sinkt die Temperatur an der Rohrwand unter 0 °C, gefriert das Bodenwasser um das Rohr. Die dabei frei werdende Latentwärme ist ein wesentlicher Teil der Wärmequelle. Ohne sie dürfte ein Kollektor nur etwa die Hälfte der Leistung entziehen.
• Wärmeübergang im Rohr: Ob die Sole laminar oder turbulent strömt, beeinflusst die Soletemperatur um mehrere Kelvin. nPro berechnet die Hydraulik der Kollektorkreise deshalb mit.

Im Unterschied zum ursprünglichen Rechenverfahren dieser Arbeit nutzt nPro für die Wärmeleitung keine vereinfachten Näherungen für die Wärme von oben und unten, sondern löst das Wärmeleitproblem einer Rohrreihe unter der Erdoberfläche exakt für jede Frequenz des stündlichen Lastprofils. Dadurch wird die gesamte Lastgeschichte berücksichtigt, und Grundlast, Jahresgang und kurzfristige Lastspitzen werden mit der richtigen zeitlichen Verschiebung überlagert.

Wie werden Erdwärmekollektoren mit nPro ausgelegt?

Das Kollektormodul in nPro bietet zwei Berechnungsfunktionen:

• Berechnung der Kollektorfläche, bei der alle Auslegungskriterien eingehalten werden (Soletemperatur, maximaler Eisradius, Auftauen der Eisbrücken bis Vegetationsbeginn).
• Berechnung der minimalen Soletemperatur, mit der die Sole vom Kollektor zur Wärmepumpe zurückläuft, und der Eisbildung für eine vorgegebene Kollektorfläche.

In beiden Fällen werden zusätzlich die stündlichen Soletemperaturen, der Verlauf des Eisradius über das Jahr und die Hydraulik (Anzahl der Kreise, Reynolds-Zahl, Druckverlust) ausgegeben. Eine Berechnung dauert etwa eine Sekunde.

Für die Berechnung verwendet nPro das in der Betriebssimulation berechnete stündliche Entzugsprofil der Wärmepumpe und das stündliche Lufttemperaturprofil des gewählten Standorts. Das Kollektorfeld wird als ausreichend groß angenommen, sodass Randeffekte vernachlässigt werden können. An den Rändern strömt in der Realität zusätzlich Wärme von der Seite zu, sodass diese Annahme auf der sicheren Seite liegt.

Methodik der Berechnung

Ungestörte Bodentemperatur

Die Temperatur des ungestörten Erdreichs in Verlegetiefe folgt dem Jahresgang der Lufttemperatur, allerdings gedämpft und zeitlich verzögert. In 1,2 m Tiefe tritt das Temperaturminimum etwa drei bis vier Wochen nach dem Minimum der Lufttemperatur auf. nPro zerlegt das stündliche Lufttemperaturprofil des Standorts in seine Frequenzanteile und dämpft jeden Anteil entsprechend der Wärmeleitung im Boden und dem Wärmeübergang an der Erdoberfläche (Lösung nach Grigull und Sandner):

• Berechnungsgrundlage:

Dabei ist ω die Kreisfrequenz, a die Temperaturleitfähigkeit des Bodens und α der Wärmeübergangskoeffizient an der Erdoberfläche (15 W/(m²K)). Für den Jahresmittelwert gilt e⁰ = 1, das heißt, die mittlere Bodentemperatur entspricht der mittleren Lufttemperatur.

Wärmeleitung im ungefrorenen Erdreich

Der Kollektor wird als unendliche Reihe paralleler Rohre im Abstand Δs und in der Tiefe z unter der Erdoberfläche modelliert. Für den stationären Fall ergibt sich der Wärmeleitwiderstand je Meter Rohr in geschlossener Form:

• Berechnungsgrundlage:

Die Näherung zeigt die beiden Anteile anschaulich: Der erste Term beschreibt die Wärmeleitung von der Erdoberfläche durch die Bodenschicht der Dicke z, der zweite das Zusammenströmen der Wärme auf das einzelne Rohr.

Für den zeitlichen Verlauf zerlegt nPro das stündliche Entzugsprofil per Fourier-Transformation in seine Frequenzanteile. Für jeden Anteil ist die Temperaturantwort des Bodens analytisch bekannt: ein ebener Anteil (Wärmesenke in der Kollektorebene mit Wärmeübergang an der Erdoberfläche) und ein lokaler Anteil um die Rohre (Fourier-Reihe entlang der Rohrreihe). Die Summe aller Anteile ergibt die stündliche Absenkung der Rohrwandtemperatur gegenüber dem ungestörten Erdreich.

Vereisung um die Kollektorrohre

Sobald die Rohrwand 0 °C erreicht, bildet sich ein Eiszylinder um das Rohr. nPro rechnet dann in Tagesschritten mit folgendem Ansatz:

• An der Eisoberfläche herrscht konstant 0 °C. Der Wärmestrom aus dem ungefrorenen Erdreich zur Eisoberfläche ergibt sich aus dem Wärmeleitmodell.
• Die Differenz zwischen entzogener Wärme und zuströmender Wärme lässt Bodenwasser gefrieren (oder im Frühjahr tauen). Daraus folgt die Querschnittsfläche des gefrorenen Bodens:

mit der gespeicherten Latentwärme E_Eis je Meter Rohr, dem gefrierbaren Wassergehalt θ_f, der Dichte von Wasser ρ_W und der Schmelzenthalpie Δh_s = 333,5 kJ/kg.

• Die Rohrwandtemperatur folgt aus der Wärmeleitung durch den gefrorenen Boden von der Eisoberfläche zum Rohr:

• Wachsen die Eiszylinder benachbarter Rohre zusammen, kann sich das Eis nur noch nach oben und unten ausdehnen. Eisradius und Wärmeleitung durch das Eis werden dann mit Gleichungen für zusammengewachsene Eiszylinder berechnet.

Die Simulation läuft über mehrere Jahre, bis sich der jährliche Zyklus aus Vereisen und Auftauen wiederholt. Die sensible Wärme im gefrorenen Bereich wird vernachlässigt.

Berechnung der Soletemperaturen

Die Soletemperaturen ergeben sich stündlich aus der Rohrwandtemperatur (bzw. aus der ungestörten Bodentemperatur und der Temperaturabsenkung im Erdreich), dem Wärmewiderstand von Rohrwand und Sole sowie der Spreizung. Maßgebend für die Auslegung ist wie in der VDI 4640 Blatt 2 die Temperatur der Sole, die vom Kollektor zur Wärmepumpe zurückläuft (Kollektoraustritt). Die Sole am Wärmepumpenaustritt (Kollektoreintritt) ist um die Spreizung kälter:

• Berechnungsgrundlage:

Der Massenstrom wird als konstant angenommen und so bemessen, dass bei maximaler Entzugsleistung die eingestellte Spreizung erreicht wird. Bei Teillast ist die Spreizung entsprechend kleiner.

Hydraulik der Kollektorkreise

Die gesamte Rohrlänge wird auf parallel geschaltete Kollektorkreise gleicher Länge aufgeteilt. nPro wählt die Anzahl der Kreise so, dass die Sole bei maximaler Last turbulent strömt (Reynolds-Zahl ca. 2500, VDI 4640 Blatt 2: 2300 bis 3000), ohne die eingestellte maximale Kreislänge zu überschreiten. Lässt sich das nicht erreichen, gilt die maximale Kreislänge, und nPro weist auf die laminare Strömung hin. Aus dem Volumenstrom je Kreis ergeben sich Reynolds-Zahl, Wärmeübergang und Druckverlust. Der Wärmewiderstand zwischen Sole und Rohraußenwand setzt sich aus der Wärmeleitung durch die Rohrwand und dem konvektiven Übergang zusammen:

• Berechnungsgrundlage:

Der Wärmeübergangskoeffizient h wird bei laminarer Strömung mit einer konstanten Nusselt-Zahl und bei turbulenter Strömung nach Gnielinski berechnet. Die Stoffwerte der Sole entsprechen einem Propylenglykol-Wasser-Gemisch (25 %) bei 0 °C. Laminare Strömung erhöht den Rohrwiderstand auf mehr als das Doppelte. Die VDI 4640 Blatt 2 empfiehlt daher eine Reynolds-Zahl zwischen 2300 und 3000.

Auslegungskriterien

Bei der Berechnung der Kollektorfläche sucht nPro die kleinste Fläche, bei der alle folgenden Kriterien eingehalten werden:

• Minimale Soletemperatur: Die Temperatur der Sole, die zur Wärmepumpe zurückläuft, unterschreitet in keiner Stunde den eingestellten Grenzwert (VDI 4640 Blatt 2: -5 °C).
• Maximaler Eisradius: Der gefrorene Bereich um ein Rohr dehnt sich vertikal nicht weiter als der Grenzwert aus (Empfehlung aus der Literatur: 0,5 m).
• Eisbrücken bis Vegetationsbeginn aufgetaut: Zusammengewachsene Eiszylinder müssen aufgetaut sein, sobald das Monatsmittel der Lufttemperatur 12 °C überschreitet. So kann Regen- und Schmelzwasser versickern, und das Pflanzenwachstum über dem Kollektor wird nicht beeinträchtigt. Auf diesem Kriterium beruhen die Werte der VDI 4640 Blatt 2, Tabelle A2.
• Maximale Soletemperatur im Kühlbetrieb: Wird der Kollektor auch zur Kühlung genutzt, überschreitet die Temperatur am Kollektoraustritt den Grenzwert nicht.

Zusätzlich weist nPro darauf hin, wenn die jährliche Entzugsenergie über 70 kWh/(m²a) liegt oder die Strömung in den Kollektorkreisen laminar ist.

Annahmen und Grenzen des Modells

• Die Ergebnisse gelten für das eingeschwungene Jahr. Das Entzugsprofil wird als sich jährlich wiederholend angenommen.
• Alle Temperaturen sind Stundenmittelwerte. Die Taktung der Wärmepumpe wird nicht abgebildet. Bei Wärmepumpen im Ein/Aus-Betrieb liegt die Soletemperatur während der Laufzeit um etwa 1 bis 3 K tiefer als das Stundenmittel.
• Die mittlere Bodentemperatur wird gleich der mittleren Lufttemperatur gesetzt. In Messungen liegt sie meist gut 1 K höher, die Annahme liegt also auf der sicheren Seite.
• Randeffekte des Kollektorfelds werden vernachlässigt (sichere Seite).
• Regeneration und Kühlung werden berücksichtigt: Stunden mit Wärmeeintrag in das Erdreich (z. B. Kühlung oder Solarthermie) gehen mit ihrer gesamten Lastgeschichte in die Berechnung ein und lassen vorhandenes Eis schmelzen. Weil der Kollektor flach liegt, fließt im Sommer eingebrachte Wärme bis zum Winter größtenteils über die Erdoberfläche ab; eine Regeneration während der Heizperiode wirkt deutlich stärker.
• Eine Austrocknung des Bodens bei hohen Eintragstemperaturen, die die Wärmeleitfähigkeit verringert, wird nicht abgebildet. Die maximale Temperatur am Kollektoraustritt im Kühlbetrieb sollte daher vorsichtig gewählt werden.
• Eine isolierende Schneedecke wird nicht berücksichtigt. In sehr kalten Klimazonen, in denen der Boden in Verlegetiefe auch ohne Wärmeentzug gefriert, sind die Ergebnisse daher sehr vorsichtig; nPro weist in diesem Fall darauf hin.
• Kompakte Bauformen wie Erdwärmekörbe, Graben- oder Spiralkollektoren sind nicht Bestandteil des Modells.

Validierte Wertebereiche und Ermittlung von Eingabewerten

In diesem Abschnitt wird erläutert, welche Richtwerte man für die Eingabeparameter zur Kollektorberechnung nutzen kann.

Bodenarten und Bodenparameter

Die Leistungsfähigkeit eines Kollektors hängt stark vom Wassergehalt des Bodens ab. Er bestimmt die Wärmeleitfähigkeit, die Wärmekapazität und vor allem die Latentwärme, die beim Gefrieren frei wird. In nPro stehen vier Bodenarten nach VDI 4640 Blatt 2 zur Auswahl. Wärmeleitfähigkeit und Wassergehalt entsprechen Tabelle A1 der VDI 4640 Blatt 2. Wärmekapazität und Wärmeleitfähigkeit im gefrorenen Zustand stammen aus Bodentabellen der wissenschaftlichen Literatur. Der gefrierbare Wassergehalt ist der Wassergehalt abzüglich des Anteils, der bei etwa -2 °C noch ungefroren bleibt.

Mit der Auswahl Benutzerdefiniert können alle Bodenparameter frei eingegeben werden, zum Beispiel auf Basis eines Baugrundgutachtens. In wassergesättigten Böden kann der Kollektor laut VDI 4640 Blatt 2 unabhängig von der tatsächlichen Bodenart wie bei sandigem Ton ausgelegt werden. Ein gefrierbarer Wassergehalt von 0 schaltet die Vereisung im Modell ab.

Weiterführend: Validierung

Wie genau die hier beschriebene Berechnungsmethodik ist, zeigen der Vergleich mit einer wissenschaftlichen Referenzarbeit der TU Dresden und mit den Auslegungswerten der VDI 4640 Blatt 2 für alle 15 Klimazonen. Alle Ergebnisse finden Sie auf der Seite Validierung der Erdwärmekollektor-Berechnung in nPro. Wie Erdwärmesonden in nPro berechnet werden, erfahren Sie auf der Seite Auslegung von Geothermie-Sonden.

Quellen